두 수학과 교수님께서 수학기본정신으로 강조하신 내용

  • 체용 (or 음양)의 쌍대론
  • 수학적 귀납법과 귀류법이 전부

을 제 언어로 풀어봤습니다:

  1. 귀납법은 용적 명제를 체로 접근 (용-체)
  2. 귀류법은 체적 명제를 이체로 접근 (체-이체)

    즉, 글 제목과 같이 understanding via one’s dual and negative form이 귀납법과 귀류법이라 볼 수 있습니다.

체는 구체적, 절대적 대상으로 벡터, 포유류, 집합, 절대적 속성 / 용은 기능적, 관계적 속성으로 함수, 분류법, 독립 등이 예시입니다.

정의

는 체, 용 두 가지 혹은 그 조합으로 가능합니다. 체적 정의는 bottomup 용적정의는 top down에 가깝습니다.

  • 사람은 생각하는 동물 (용 | 체)
  • polyhedron := {x|Ax <= b} (용) <-> polytope := conv(x1..n) + cone(w1..m) (체)
  • tree graph := connected without cycle (용&비체) <-> connected with #vertex-1 edge (용&체) <-> exist path between every two vertex (체 | 체)
  • basic feasible solution <-> vertex <-> extreme point
  • nonidentifiable (용) ~ degenerate (체) ~ overfitting (용)

명제

는 제한된 체에 대한 용인 경우가 많습니다. !exist x, y, z in Z s.t. x^n = y^n + z^n (n>=3) 특정 명제를, 명제의 대상이 아닌 것으로 대신 접근하려면 같음(isomorphism)이 먼저 정의되고, 추가로 다음을 정의해야합니다.

  1. 용-체 대응: e.g. v <-> < ,v>
  2. 이체: e.g. connected with cycle 와 disconnected w.o. cycle 모두 !tree 입니다.

서두에서 밝힌 귀납법과 귀류법의 용체를 예시로 마무리하겠습니다.

귀납법 (용 -> 체) i.e. sequence 잡기

  • 대각화논법 (prove compact with sequentially compact)
  • martingale, markov-chain 증명
  • 반복적 논리 설계 (~ algorithm)

귀류법 (체 -> 이체)

  • feasibility보다 infeasibility 증명이 어렵기에 후자를 쌍대탐색공간 상 feasibility로 변환 (optimization = separation)

note.

  • 체-용과 용-체 관계에 대칭성이 있습니다.
  • 최근 강조되는 근사이론에서, “=” 정의가 중요합니다.
  • [체+용]이 새로운 체가 되기도 합니다.
  • Baudrillard의 Simulacra and Simulation책 중 일부에서 “비체”로 이해하기:
“can only be understood in its negative form”